Definición y vocabulario
En la escritura an :
- a se llama la base
- n se llama el exponente
- La expresión completa se lee « a elevado a n » o « a a la n »
Casos particulares a recordar :
- a1 = a (toda base elevada a 1 vale ella misma)
- a0 = 1 para todo a distinto de cero (por convención matemática)
- a2 se lee también « a al cuadrado » (relación geométrica con el área de un cuadrado)
- a3 se lee también « a al cubo » (relación geométrica con el volumen de un cubo)
Las reglas de cálculo
Cuatro reglas a memorizar para manipular las potencias :
- am × an = am+n (producto de potencias de misma base)
- am ÷ an = am−n (cociente de potencias de misma base)
- (am)n = am×n (potencia de una potencia)
- (a × b)n = an × bn (potencia de un producto)
Ejemplos :
- 23 × 24 = 27 = 128
- 105 ÷ 102 = 103 = 1000
- (32)3 = 36 = 729
Las potencias de 10 y la notación científica
Las potencias de 10 son la base del sistema decimal :
- 101 = 10 (una decena)
- 102 = 100 (una centena)
- 103 = 1 000 (un millar)
- 106 = 1 000 000 (un millón)
- 109 = 1 000 000 000 (mil millones)
Multiplicar por 10n equivale a desplazar la coma n posiciones a la derecha. Dividir entre 10n es lo contrario (n posiciones a la izquierda).
La notación científica explota esta propiedad para escribir números muy grandes o muy pequeños. Por ejemplo, la masa de la Tierra es 5,97 × 1024 kg, lo que es más legible que 5 970 000 000 000 000 000 000 000 kg.
Preguntas frecuentes
¿A qué nivel se aprenden las potencias?
En España, las potencias se introducen en 2º-3º de ESO (13-14 años), con las potencias enteras positivas y las potencias de 10. Las potencias negativas y la notación científica se enseñan en 4º de ESO. En México y América Latina, las bases se asientan en secundaria 1-2.
¿Qué significa a elevado a 0?
Por convención matemática, a^0 = 1 para todo número a distinto de cero. Esta convención se deriva de la regla a^m ÷ a^n = a^(m−n) : si calculas a^3 ÷ a^3, obtienes a la vez a^0 (por la regla) y 1 (por el cálculo directo, ya que el cociente de un número entre sí mismo es 1). Por lo tanto a^0 = 1.
¿Cuál es la diferencia entre 2^3 y 3^2?
2^3 = 2 × 2 × 2 = 8, mientras que 3^2 = 3 × 3 = 9. La potencia no es conmutativa : a^b es generalmente distinto de b^a. Es un error clásico invertir la base y el exponente.