Per risolvere una proporzione si applica la proprietà fondamentale: in ogni proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi, e da questa uguaglianza si ricava il termine che manca.
Le proporzioni tornano ovunque alla scuola media: nelle scale delle carte geografiche, nelle percentuali, nelle ricette, nei problemi con grandezze direttamente o inversamente proporzionali. Questa guida spiega la proprietà fondamentale, come trovare il termine incognito in ogni posizione, che cos'è il medio proporzionale, come riconoscere le grandezze proporzionali, e chiude con esercizi svolti da usare per ripassare.
La proprietà fondamentale delle proporzioni
Una proporzione è un'uguaglianza tra due rapporti: a : b = c : d, che si legge «a sta a b come c sta a d». Il primo e il quarto termine, a e d, sono gli estremi; il secondo e il terzo, b e c, sono i medi.
La proprietà fondamentale dice che in ogni proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi: b × c = a × d. Prendi 3 : 4 = 6 : 8. Gli estremi danno 3 × 8 = 24, i medi 4 × 6 = 24. Vale anche il contrario: se i due prodotti sono diversi, i quattro numeri non formano una proporzione. Con 3 : 4 e 5 : 8, per esempio, 3 × 8 = 24 mentre 4 × 5 = 20.
Il motivo si vede scrivendo i rapporti come frazioni: 3/4 = 6/8. Due frazioni sono equivalenti quando i prodotti in croce coincidono, e la proprietà fondamentale è la stessa regola scritta con i due punti. Se vuoi ripassare le frazioni, trovi le quattro operazioni spiegate nella nostra guida alle frazioni fatte a mente.
Risolvere una proporzione con il termine incognito
Quando uno dei quattro termini è sconosciuto, lo si indica con x e si usa la proprietà fondamentale per trovarlo. Le regole pratiche sono due: un estremo incognito è uguale al prodotto dei medi diviso l'estremo noto; un medio incognito è uguale al prodotto degli estremi diviso il medio noto.
| Dove sta la x | Regola | Esempio |
|---|---|---|
| Primo termine (estremo) | x = (b × c) : d | x : 4 = 15 : 20, quindi x = 60 : 20 = 3 |
| Secondo termine (medio) | x = (a × d) : c | 6 : x = 9 : 12, quindi x = 72 : 9 = 8 |
| Terzo termine (medio) | x = (a × d) : b | 2 : 5 = x : 10, quindi x = 20 : 5 = 4 |
| Quarto termine (estremo) | x = (b × c) : a | 5 : 8 = 15 : x, quindi x = 120 : 5 = 24 |
| Medio proporzionale | x = √(a × d) | 4 : x = x : 9, quindi x = √36 = 6 |
Dopo il calcolo conviene sempre sostituire il valore trovato e verificare: per 5 : 8 = 15 : 24, gli estremi danno 5 × 24 = 120 e i medi 8 × 15 = 120. Se i prodotti coincidono, la soluzione è giusta.
Un trucco per fare i conti a mente: prima di moltiplicare, semplifica. In x : 4 = 15 : 20, il rapporto 15 : 20 è uguale a 3 : 4, quindi x vale 3 senza bisogno di moltiplicare.
Il medio proporzionale e la proporzione continua
Una proporzione è continua quando i due medi sono uguali, come in 4 : 6 = 6 : 9. Il termine ripetuto si chiama medio proporzionale tra gli estremi: 6 è il medio proporzionale tra 4 e 9, perché 6 × 6 = 36 e 4 × 9 = 36.
Per trovarlo si applica ancora la proprietà fondamentale. In a : x = x : d il prodotto dei medi è x × x, cioè x², quindi x² = a × d e x è la radice quadrata del prodotto degli estremi. Tra 2 e 18 il medio proporzionale è √36 = 6; tra 5 e 20 è √100 = 10. Le Indicazioni nazionali per la scuola secondaria di primo grado presentano la radice quadrata come operatore inverso dell'elevamento al quadrato, ed è esattamente l'uso che se ne fa qui.
Se il prodotto degli estremi non è un quadrato perfetto, il medio proporzionale non è un numero intero: tra 2 e 6, per esempio, vale √12, circa 3,46.
Grandezze direttamente e inversamente proporzionali
Le proporzioni servono soprattutto a risolvere problemi. Due grandezze sono direttamente proporzionali quando il loro rapporto resta costante: se 3 kg di mele costano 7,50 euro, 5 kg costano x euro, e 3 : 7,50 = 5 : x dà x = (7,50 × 5) : 3 = 12,50 euro. Sono inversamente proporzionali quando resta costante il prodotto: se 4 operai finiscono un lavoro in 6 giorni, 3 operai impiegano x giorni, con 4 × 6 = 3 × x, quindi x = 8.
Le Indicazioni nazionali per il curricolo del primo ciclo, adottate con il decreto 9 dicembre 2025, n. 221, chiedono di conoscere, al termine della terza media, il collegamento tra le funzioni y = ax e y = a/x e il concetto di proporzionalità: la prima descrive la proporzionalità diretta, la seconda quella inversa. Le nuove Indicazioni si applicano dall'anno scolastico 2026/2027 a partire dalle classi prime, mentre le classi intermedie già avviate proseguono con quelle del 2012.
Anche le percentuali sono proporzioni. Per sapere che percentuale è 15 su 60 si scrive 15 : 60 = x : 100, e x = 1.500 : 60 = 25, cioè il 25%. È lo stesso ragionamento che serve per calcolare uno sconto e l'IVA.
Proporzioni, esercizi con soluzione
Prova a risolverle prima da solo, poi controlla con la tabella, e verifica sempre confrontando il prodotto dei medi con quello degli estremi.
| Proporzione | Calcolo | Soluzione |
|---|---|---|
| x : 6 = 10 : 15 | x = (6 × 10) : 15 = 60 : 15 | x = 4 |
| 7 : x = 21 : 9 | x = (7 × 9) : 21 = 63 : 21 | x = 3 |
| 12 : 16 = 9 : x | x = (16 × 9) : 12 = 144 : 12 | x = 12 |
| 2,5 : 5 = x : 12 | x = (2,5 × 12) : 5 = 30 : 5 | x = 6 |
| 3/4 : x = 1/2 : 2/3 | x = (3/4 × 2/3) : 1/2 = 1/2 : 1/2 | x = 1 |
| 5 : x = x : 20 | x² = 5 × 20 = 100 | x = 10 |
| (x + 2) : 6 = 4 : 3 | 3 × (x + 2) = 24, quindi x + 2 = 8 | x = 6 |
Nell'ultimo esercizio la x compare dentro una somma: si applica comunque la proprietà fondamentale e si arriva a un'equazione di primo grado, che le Indicazioni collocano tra gli obiettivi della stessa classe terza. Il quinto mostra invece che la regola vale anche con le frazioni: basta moltiplicare e dividere frazioni come si fa con i numeri interi.
Le proporzioni nelle prove INVALSI
Il Quadro di riferimento delle prove INVALSI di matematica cita, tra le conoscenze richieste nelle prove di tutti i gradi scolastici, l'individuare e utilizzare rapporti di scala, e tra i temi delle domande di grado 8 la percentuale e la relazione funzionale fra grandezze. Tra i traguardi elenca anche il riconoscere e usare rappresentazioni diverse dello stesso oggetto matematico: numeri decimali, frazioni, percentuali, scale di riduzione.
In pratica, una domanda può darti una carta in scala 1 : 50.000 e chiederti la distanza reale corrispondente a 3 cm, cioè 150.000 cm, pari a 1,5 km. Oppure può chiederti di completare una tabella con grandezze proporzionali. Trovi durata e struttura della prova nella nostra guida all'INVALSI di matematica in terza media.
Per arrivare pronto conta molto la rapidità con prodotti e divisioni: chi sa le tabelline risolve x : 4 = 15 : 20 in pochi secondi. Kalc allena tabelline, frazioni, percentuali e algebra in circa dieci minuti al giorno.
Domande frequenti
Come si trova il termine incognito in una proporzione?
Si usa la proprietà fondamentale: un estremo incognito è il prodotto dei medi diviso l'estremo noto, un medio incognito è il prodotto degli estremi diviso il medio noto.
Che cos'è il medio proporzionale tra due numeri?
È il termine ripetuto di una proporzione continua, come 6 in 4 : 6 = 6 : 9. Si calcola come radice quadrata del prodotto degli estremi: √(4 × 9) = 6.
Quali sono gli estremi e i medi di una proporzione?
In a : b = c : d gli estremi sono il primo e il quarto termine, a e d; i medi sono il secondo e il terzo, b e c.
Quando due grandezze sono direttamente proporzionali?
Quando il loro rapporto resta costante: se una raddoppia, raddoppia anche l'altra. Se 3 kg di mele costano 7,50 euro, 6 kg costano 15 euro.
Come si verifica la soluzione di una proporzione?
Si sostituisce il valore trovato e si confrontano i prodotti: se il prodotto dei medi è uguale a quello degli estremi, la soluzione è corretta.
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