Per sommare, sottrarre, moltiplicare e dividere le frazioni a mente servono due abilità: riconoscere i divisori comuni e trasformare una frazione in una equivalente. Con queste due, le operazioni più frequenti si fanno quasi senza scrivere: 18/24 diventa 3/4 in un passaggio, e 1/4 + 1/6 diventa 3/12 + 2/12.
Le Indicazioni nazionali chiedono di operare con le frazioni già alla fine della primaria, e alla fine della secondaria di primo grado di eseguire le operazioni con i numeri razionali, quando possibile a mente. Questa guida mostra i passaggi per semplificare, confrontare, sommare, moltiplicare e dividere, e il legame tra frazioni, decimali e percentuali.
Semplificare le frazioni con i criteri di divisibilità
Semplificare significa dividere numeratore e denominatore per lo stesso numero. Il valore non cambia: 18/24 e 3/4 indicano la stessa quantità. Il lavoro sta nel trovare un divisore comune, e qui aiutano i criteri di divisibilità:
- per 2, l'ultima cifra è pari;
- per 3, la somma delle cifre è divisibile per 3 (per 126: 1 + 2 + 6 = 9);
- per 5, l'ultima cifra è 0 o 5;
- per 9, la somma delle cifre è divisibile per 9;
- per 10, l'ultima cifra è 0.
In 18/24 entrambi i numeri sono pari e divisibili per 3, quindi per 6: 18 ÷ 6 = 3, 24 ÷ 6 = 4, e resta 3/4. In 45/60 dividono entrambi sia il 5 sia il 3, quindi il 15, e resta di nuovo 3/4. Con numeri più grandi conviene procedere a tappe: 84/126 diviso per 2 dà 42/63, diviso per 3 dà 14/21, diviso per 7 dà 2/3. Il massimo comun divisore di 84 e 126 è 42 e basterebbe un passaggio, ma tre divisioni facili sono più sicure di una difficile.
Tutto si appoggia sulle tabelline: sapere che 42 è 6 × 7 e che 63 è 7 × 9 rende la semplificazione immediata. Se qualche prodotto non è ancora automatico, le tabelline dal 2 al 12 sono il punto da cui ripartire.
Frazioni equivalenti e confronto tra frazioni
Due frazioni sono equivalenti quando indicano lo stesso numero: 1/2, 2/4, 3/6 e 50/100 sono la stessa metà scritta in modi diversi. Per costruirne una basta moltiplicare numeratore e denominatore per lo stesso numero, l'operazione opposta alla semplificazione. Le Indicazioni nazionali per il curricolo del 2025 fissano questo obiettivo già alla fine della classe quinta della primaria: operare con le frazioni e riconoscere frazioni equivalenti.
Le frazioni equivalenti servono soprattutto per confrontare. Per sapere se 5/8 è più grande di 3/5, porta le due frazioni allo stesso denominatore, 40: 5/8 = 25/40 e 3/5 = 24/40, quindi 5/8 è più grande, di poco. A mente si salta un passaggio con il prodotto in croce: 5 × 5 = 25 contro 3 × 8 = 24.
Un'altra scorciatoia è il confronto con 1/2. Una frazione supera la metà quando il numeratore è più della metà del denominatore: 7/12 supera 1/2 perché 7 è più di 6, mentre 4/9 resta sotto perché 4 è meno di 4,5. Nelle domande a scelta multipla spesso basta questo per scartare le risposte impossibili.
Somma di frazioni con denominatori uguali o diversi
Con lo stesso denominatore si sommano solo i numeratori: 2/7 + 3/7 = 5/7. L'errore più comune è sommare anche i denominatori, ma 2/7 + 3/7 non fa 5/14: i settimi restano settimi, come 2 metri più 3 metri restano metri.
Con denominatori diversi bisogna prima renderli uguali. Il denominatore comune più comodo è il minimo comune multiplo: per 1/4 + 1/6 è 12, quindi 3/12 + 2/12 = 5/12. Per 2/3 + 3/4 è ancora 12: 8/12 + 9/12 = 17/12, cioè 1 intero e 5/12. La sottrazione segue la stessa strada: 3/4 − 2/3 = 9/12 − 8/12 = 1/12.
Quando il minimo comune multiplo non salta all'occhio, c'è una scorciatoia sempre valida: a/b + c/d = (a × d + b × c) / (b × d). Per 1/4 + 1/6 dà 10/24, che semplificato per 2 torna 5/12. Il risultato è giusto, ma i numeri crescono: semplifica sempre alla fine.
Moltiplicare e dividere le frazioni
La moltiplicazione è l'operazione più semplice: numeratore per numeratore, denominatore per denominatore, quindi 2/3 × 4/5 = 8/15. Il trucco per restare a mente è semplificare prima di moltiplicare, anche in croce. In 4/9 × 3/8, il 4 e l'8 si dividono per 4 e diventano 1 e 2, il 3 e il 9 si dividono per 3 e diventano 1 e 3: resta 1/3 × 1/2 = 1/6.
La frazione di un numero è una moltiplicazione: i 3/4 di 120 sono 120 ÷ 4 × 3 = 90. Dividere per il denominatore prima di moltiplicare tiene i numeri piccoli, lo stesso principio dei trucchi di calcolo mentale per le moltiplicazioni.
Per dividere si moltiplica per la frazione reciproca, cioè capovolta: 3/4 : 3/8 = 3/4 × 8/3 = 2. Il risultato ha un senso concreto, perché in tre quarti ci stanno due volte tre ottavi. Chiedersi «quante volte ci sta» è un buon controllo per ogni divisione tra frazioni.
Operazioni sulle frazioni: le regole in una tabella
| Operazione | Regola | Esempio a mente |
|---|---|---|
| Semplificare | Dividi numeratore e denominatore per lo stesso numero | 18/24 = 3/4, diviso 6 |
| Confrontare | Stesso denominatore, oppure prodotto in croce | 5/8 > 3/5 perché 25 > 24 |
| Sommare, stesso denominatore | Sommi i numeratori, il denominatore resta | 2/7 + 3/7 = 5/7 |
| Sommare, denominatori diversi | Porti tutto al minimo comune multiplo | 1/4 + 1/6 = 3/12 + 2/12 = 5/12 |
| Sottrarre | Come la somma, con la differenza dei numeratori | 3/4 − 2/3 = 9/12 − 8/12 = 1/12 |
| Moltiplicare | Numeratori tra loro, denominatori tra loro | 2/3 × 4/5 = 8/15 |
| Dividere | Moltiplichi per la frazione reciproca | 3/4 : 3/8 = 3/4 × 8/3 = 2 |
Nelle espressioni valgono le stesse regole dei numeri interi: prima le parentesi, poi moltiplicazioni e divisioni, infine addizioni e sottrazioni. Le Indicazioni nazionali lo chiedono esplicitamente per la fine della secondaria di primo grado, insieme al calcolo del minimo comune multiplo e del massimo comune divisore.
Frazioni, decimali e percentuali
Una frazione, un numero decimale e una percentuale possono indicare lo stesso numero. Alla fine della secondaria di primo grado le Indicazioni chiedono di usare frazioni equivalenti e numeri decimali per indicare uno stesso numero razionale in modi diversi, e di usare frazioni, percentuali e rapporti per descrivere situazioni quotidiane. Le equivalenze più utili vanno sapute a memoria:
| Frazione | Decimale | Percentuale |
|---|---|---|
| 1/2 | 0,5 | 50% |
| 1/4 | 0,25 | 25% |
| 3/4 | 0,75 | 75% |
| 1/5 | 0,2 | 20% |
| 2/5 | 0,4 | 40% |
| 1/8 | 0,125 | 12,5% |
| 1/10 | 0,1 | 10% |
| 1/20 | 0,05 | 5% |
| 1/3 | 0,333… | Circa 33,3% |
| 2/3 | 0,666… | Circa 66,7% |
Con questa tabella in testa, uno sconto del 25% è un quarto del prezzo, e 0,125 × 64 diventa 64 ÷ 8 = 8. In senso inverso, 3/8 si ricava da 1/8: tre volte 12,5% fa 37,5%.
Frazioni a mente nelle prove INVALSI
Le frazioni rientrano nell'ambito Numeri delle prove INVALSI. Il Quadro di riferimento delle prove INVALSI di matematica collega le domande della primaria, tra gli altri, al traguardo di riconoscere e usare rappresentazioni diverse degli oggetti matematici: numeri decimali, frazioni, percentuali, scale di riduzione. Tra gli esempi pubblicati nel documento c'è una domanda di grado 8, la terza media, che chiede di muoversi sulla retta dei numeri con quantità non intere.
In una prova a tempo, le frazioni a mente fanno risparmiare minuti: confrontare con 1/2, riconoscere 0,75 come 3/4, semplificare prima di moltiplicare. Per sapere come è organizzata la prova di terza media, con durata e livelli, leggi la nostra guida alla prova INVALSI di matematica.
Per allenarsi bastano pochi minuti al giorno: cinque semplificazioni, tre confronti e due somme con denominatori diversi. Kalc allena tabelline, frazioni e percentuali in dieci minuti al giorno, ma anche carta e matita funzionano, purché l'allenamento sia regolare.
Domande frequenti
Come si semplifica una frazione?
Si dividono numeratore e denominatore per lo stesso numero, finché non hanno più divisori comuni. 18/24 diviso 6 diventa 3/4; con numeri grandi conviene procedere a tappe, dividendo per 2, per 3, per 5.
Come si sommano due frazioni con denominatori diversi?
Si portano allo stesso denominatore, di solito il minimo comune multiplo, poi si sommano i numeratori: 1/4 + 1/6 = 3/12 + 2/12 = 5/12.
Quando due frazioni sono equivalenti?
Quando indicano lo stesso numero, come 1/2, 2/4 e 50/100. Si passa dall'una all'altra moltiplicando o dividendo numeratore e denominatore per lo stesso numero.
Come si divide una frazione per un'altra?
Si moltiplica la prima per la reciproca della seconda, cioè per la seconda capovolta: 3/4 : 3/8 = 3/4 × 8/3 = 2.
Quanto vale 3/8 in percentuale?
Il 37,5%. Un ottavo vale 0,125, cioè il 12,5%, e tre ottavi sono il triplo: 0,375.
Perché 2/7 + 3/7 non fa 5/14?
Perché il denominatore dice in quante parti è diviso l'intero, e nella somma non cambia: due settimi più tre settimi fanno cinque settimi, cioè 5/7.
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