Per calcolare il mcm e il MCD di due numeri si scompongono in fattori primi: il MCD prende i fattori comuni con l'esponente più piccolo, il mcm tutti i fattori con l'esponente più grande.
Sono due strumenti che tornano spesso alle medie: per sommare le frazioni, per semplificarle e in tanti problemi di orari, nastri e piastrelle. Qui trovi che cosa sono, il metodo dei fattori primi, qualche scorciatoia per farli a mente, una regola per capire quale dei due serve in un problema e una serie di esercizi svolti.
Che cosa sono il minimo comune multiplo e il massimo comune divisore
Il minimo comune multiplo di due numeri è il più piccolo numero, diverso da zero, che è multiplo di entrambi. Il massimo comune divisore è il più grande numero che li divide entrambi. Con 12 e 20 si vede subito:
- Multipli di 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72… Multipli di 20: 20, 40, 60, 80… Il primo in comune è 60, quindi mcm(12, 20) = 60.
- Divisori di 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Divisori di 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20. Il più grande in comune è 4, quindi MCD(12, 20) = 4.
Le liste funzionano bene con numeri piccoli. Con numeri più grandi diventano lunghe e si rischia di saltare un valore: per questo si usa la scomposizione in fattori primi.
La scomposizione in fattori primi, passo per passo
Scomporre un numero vuol dire scriverlo come prodotto di numeri primi. Si divide per il primo più piccolo possibile (2, 3, 5, 7, 11…) e si continua con il quoziente, fino ad arrivare a 1. Il metodo classico è la colonna: il numero a sinistra, il divisore primo a destra.
- 36: 36 ÷ 2 = 18, 18 ÷ 2 = 9, 9 ÷ 3 = 3, 3 ÷ 3 = 1. Quindi 36 = 2² × 3².
- 48: quattro divisioni per 2 portano a 3, poi 3 ÷ 3 = 1. Quindi 48 = 2⁴ × 3.
- 45: 45 ÷ 3 = 15, 15 ÷ 3 = 5, 5 ÷ 5 = 1. Quindi 45 = 3² × 5.
I criteri di divisibilità fanno risparmiare tempo: un numero è divisibile per 2 se l'ultima cifra è pari, per 3 se la somma delle cifre è un multiplo di 3, per 5 se finisce con 0 o 5. Gli esponenti indicano quante volte compare ogni fattore; se ti servono le regole per lavorarci, le trovi nella guida alle proprietà delle potenze.
L'errore più comune è fermarsi a un fattore che non è primo, come 9 o 15: bisogna continuare a dividere finché tutti i fattori sono primi.
Come si calcolano il mcm e il MCD dai fattori
Una volta scomposti i numeri, la regola è sempre la stessa:
- MCD: si prendono solo i fattori comuni, ciascuno con l'esponente più piccolo.
- mcm: si prendono tutti i fattori, comuni e non comuni, ciascuno con l'esponente più grande.
Con 36 = 2² × 3² e 48 = 2⁴ × 3, i fattori comuni sono 2 e 3. Per il MCD si prende 2² e 3, quindi MCD(36, 48) = 12. Per il mcm si prende 2⁴ e 3², quindi mcm(36, 48) = 144.
| Numeri | Fattori primi | MCD | mcm |
|---|---|---|---|
| 12 e 20 | 2² × 3 e 2² × 5 | 4 | 60 |
| 18 e 30 | 2 × 3² e 2 × 3 × 5 | 6 | 90 |
| 36 e 48 | 2² × 3² e 2⁴ × 3 | 12 | 144 |
| 45 e 75 | 3² × 5 e 3 × 5² | 15 | 225 |
| 14 e 15 | 2 × 7 e 3 × 5 | 1 | 210 |
| 8, 12 e 20 | 2³, 2² × 3 e 2² × 5 | 4 | 120 |
Per due numeri c'è un controllo rapido: il prodotto del MCD per il mcm è uguale al prodotto dei due numeri. 12 × 144 = 1.728 e 36 × 48 = 1.728. Con tre numeri, come nell'ultima riga, il metodo è lo stesso, ma questo controllo non vale più.
Trucchi per trovare MCD e mcm a mente
In molti casi non serve scomporre niente. Quattro scorciatoie coprono buona parte degli esercizi:
- Un numero è multiplo dell'altro. Con 6 e 24, il mcm è il più grande, 24, e il MCD è il più piccolo, 6.
- I numeri sono primi tra loro. Se non hanno divisori comuni oltre a 1, come 8 e 9, il MCD è 1 e il mcm è il loro prodotto, 72. Due numeri consecutivi sono sempre primi tra loro.
- Multipli del più grande. Per il mcm di 12 e 18 si scorrono i multipli di 18, cioè 18 e 36, e ci si ferma al primo divisibile per 12: 36.
- La differenza. Il MCD di due numeri divide anche la loro differenza. Per 84 e 90 la differenza è 6; 6 divide sia 84 sia 90, quindi MCD(84, 90) = 6.
Queste scorciatoie poggiano sulle tabelline: più sono sicure, più i multipli e i divisori vengono in mente da soli. Altri metodi utili sono nella nostra guida al calcolo mentale veloce.
Problemi: quando serve il mcm e quando il MCD
Nei problemi il calcolo è la parte facile; il difficile è capire quale dei due usare. Una regola semplice aiuta quasi sempre:
- mcm quando qualcosa si ripete e si cerca quando torna a coincidere: due autobus, due luci che lampeggiano, due turni. Il risultato è più grande dei numeri di partenza.
- MCD quando si divide qualcosa in parti uguali, le più grandi possibili, senza avanzi: nastri, piastrelle, sacchetti. Il risultato è più piccolo dei numeri di partenza.
Lo stesso vale con le frazioni. Per sommare 5/12 + 7/18 serve un denominatore comune, e il più comodo è il mcm(12, 18) = 36: 15/36 + 14/36 = 29/36. Per semplificare 42/56 si divide per il MCD(42, 56) = 14 e si ottiene 3/4. Per tutte le operazioni con le frazioni, vedi la guida alle frazioni a mente.
Che cosa prevedono le Indicazioni nazionali
Nelle Indicazioni nazionali del 2012 (DM 254/2012), al termine della classe quinta della primaria l'alunno individua multipli e divisori di un numero. Al termine della terza media individua multipli e divisori comuni a più numeri, comprende il significato e l'utilità del multiplo comune più piccolo e del divisore comune più grande, in matematica e in situazioni concrete, e in casi semplici scompone i numeri naturali in fattori primi.
Le nuove Indicazioni nazionali del 2025 portano i due concetti già alla primaria: tra le conoscenze della scuola primaria compaiono già divisibilità e criteri di divisibilità, multipli e divisori, massimo comune divisore e minimo comune multiplo, numeri primi. Per la secondaria di primo grado chiedono di calcolare il multiplo comune più piccolo e il divisore comune più grande e, in casi semplici, di scomporre i numeri in fattori primi.
Le nuove Indicazioni si applicano dal 2026/27 nelle classi prime; le altre classi seguono quelle del 2012 fino alla fine del ciclo.
Esercizi svolti su MCD e mcm
| Problema | Quale serve | Soluzione |
|---|---|---|
| Due autobus partono insieme alle 8:00, uno ogni 12 minuti e l'altro ogni 18. Quando ripartono insieme? | mcm(12, 18) = 36 | Alle 8:36 |
| Due nastri di 24 cm e 36 cm vanno tagliati in pezzi uguali, i più lunghi possibile. Quanto è lungo ogni pezzo? | MCD(24, 36) = 12 | 12 cm, 5 pezzi in tutto |
| Un pavimento di 360 cm × 240 cm va coperto con piastrelle quadrate intere, le più grandi possibile. Quale lato? | MCD(360, 240) = 120 | 120 cm, 6 piastrelle |
| 5/12 + 7/18 | mcm(12, 18) = 36 | 29/36 |
| Semplificare 42/56 | MCD(42, 56) = 14 | 3/4 |
Prima di guardare la soluzione, chiediti se il risultato deve essere più grande o più piccolo dei numeri del testo: è il modo più rapido per non confondere il mcm con il MCD.
Domande frequenti
Che differenza c'è tra minimo comune multiplo e massimo comune divisore?
Il minimo comune multiplo è il più piccolo multiplo comune ai due numeri, il massimo comune divisore il più grande divisore comune. Per 12 e 20 sono 60 e 4.
Come si calcola il mcm di tre numeri?
Si scompongono tutti e tre in fattori primi e si prendono tutti i fattori con l'esponente più grande: per 8, 12 e 20 si ottiene 2³ × 3 × 5 = 120.
Quando il MCD di due numeri è 1?
Quando i due numeri non hanno divisori comuni oltre a 1, cioè sono primi tra loro, come 14 e 15. In quel caso il mcm è il loro prodotto.
Come si capisce in un problema se serve il mcm o il MCD?
Il mcm serve quando si cerca quando due fenomeni tornano a coincidere, il MCD quando si divide in parti uguali le più grandi possibile.
Quando si studiano il minimo comune multiplo e il massimo comune divisore?
Le Indicazioni del 2012 li collocano alla fine della terza media; quelle del 2025, in vigore dal 2026/27 nelle classi prime, li citano già tra le conoscenze della primaria.
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