Un'equazione di primo grado si risolve isolando la x con i due principi di equivalenza: si aggiunge o si toglie lo stesso numero ai due membri, e si moltiplicano o dividono entrambi per lo stesso numero diverso da zero.
Per 3x + 5 = 20 bastano due passaggi: si toglie 5 da entrambi i membri, 3x = 15, poi si divide per 3, x = 5. Questa guida spiega i due principi, un metodo in quattro passi valido per ogni equazione, come trattare parentesi e frazioni, che cosa sono le equazioni impossibili e indeterminate, come impostare un problema e chiude con esercizi svolti.
I due principi di equivalenza
Un'equazione è come una bilancia in equilibrio: tutto ciò che si fa a un piatto va fatto anche all'altro. Da qui vengono le due regole che permettono di trasformarla senza cambiarne la soluzione.
- Primo principio. Aggiungendo o togliendo lo stesso numero, o la stessa espressione, a entrambi i membri, si ottiene un'equazione equivalente. In pratica, un termine può passare all'altro membro cambiando segno.
- Secondo principio. Moltiplicando o dividendo entrambi i membri per lo stesso numero diverso da zero, si ottiene un'equazione equivalente. In pratica, si divide per il coefficiente della x.
Le Indicazioni nazionali per il curricolo mettono l'introduzione al linguaggio algebrico tra le conoscenze della secondaria di primo grado, e chiedono, al termine della terza, di saper risolvere problemi impostando un'equazione.
Come risolvere un'equazione in quattro passi
Qualsiasi equazione di primo grado si risolve con la stessa sequenza. Ecco l'esempio di 4(x − 2) + 3 = 2x + 7:
| Passo | Che cosa si fa | Esempio |
|---|---|---|
| 1. Togliere le parentesi | Si moltiplica il numero davanti per ogni termine | 4x − 8 + 3 = 2x + 7 |
| 2. Separare le x dai numeri | Termini con la x a sinistra, numeri a destra, cambiando segno a chi passa | 4x − 2x = 7 + 8 − 3 |
| 3. Ridurre i termini simili | Si sommano i termini dello stesso tipo | 2x = 12 |
| 4. Dividere per il coefficiente | Secondo principio di equivalenza | x = 6 |
| Verifica | Si sostituisce il valore nei due membri | 4 × 4 + 3 = 19 e 2 × 6 + 7 = 19 |
Tre errori ricorrenti da tenere d'occhio:
- Il segno. Un termine che passa all'altro membro cambia segno: −8 a sinistra diventa +8 a destra.
- La divisione a metà. Dividendo per il coefficiente, si divide tutto il membro, non un solo termine.
- Il meno davanti alla parentesi. −(x − 3) diventa −x + 3: il segno cambia per ogni termine dentro la parentesi.
La verifica richiede pochi secondi e va fatta sempre: se i due membri danno lo stesso numero, la soluzione è giusta. Se non coincidono, l'errore è quasi sempre un segno sbagliato nel passo 2.
Equazioni con le frazioni e le parentesi
Con le frazioni conviene liberarsene subito, moltiplicando tutti i termini per il minimo comune multiplo dei denominatori. In x/3 + x/4 = 7 il m.c.m. è 12: si ottiene 4x + 3x = 84, cioè 7x = 84 e x = 12. La verifica: 12/3 + 12/4 = 4 + 3 = 7.
Se ci sono frazioni con più termini al numeratore, bisogna moltiplicare l'intero numeratore. In (x + 1)/2 = (x − 1)/3 + 2, moltiplicando per 6 si ha 3(x + 1) = 2(x − 1) + 12, poi 3x + 3 = 2x − 2 + 12, e infine x = 7. Verifica: 8/2 = 4 e 6/3 + 2 = 4.
Con i numeri decimali vale lo stesso trucco: si moltiplica tutto per 10 o per 100. In 0,5x + 1,5 = 4, moltiplicando per 10 si ottiene 5x + 15 = 40, cioè 5x = 25 e x = 5, senza mai fare conti con la virgola.
L'errore più comune è dimenticare di moltiplicare i termini senza frazione, come il 2 nell'esempio. Per ripassare il m.c.m. e le operazioni con le frazioni, trovi una guida alle frazioni fatte a mente.
Equazioni impossibili e indeterminate
Non tutte le equazioni hanno una sola soluzione. Riducendo, a volte la x sparisce:
- Impossibile. 2x + 3 = 2x + 5 diventa 0 = 2, un'uguaglianza falsa: nessun numero la soddisfa.
- Indeterminata. 3(x + 1) = 3x + 3 diventa 0 = 0, un'uguaglianza sempre vera: ogni numero è soluzione.
Riconoscerle subito evita di cercare una soluzione che non esiste, o di dividere per zero, cosa che il secondo principio non permette.
Nei problemi conviene anche controllare che la soluzione abbia senso nel contesto. Se un testo chiede due numeri interi consecutivi la cui somma è 10, si arriva a 2x + 1 = 10, quindi x = 4,5, che non è un numero intero. L'equazione ha una soluzione, il problema così formulato invece non ne ha tra i numeri interi.
Problemi con le equazioni di primo grado
Nei problemi il lavoro principale è tradurre il testo in un'equazione. Il Quadro di riferimento delle prove INVALSI di matematica indica, tra i traguardi al termine del primo ciclo, utilizzare e interpretare il linguaggio matematico, equazioni comprese, cogliendone il rapporto con il linguaggio naturale. È proprio questo passaggio.
- Tre numeri consecutivi hanno somma 72. Se il primo è x: x + (x + 1) + (x + 2) = 72, cioè 3x + 3 = 72, quindi x = 23. I numeri sono 23, 24 e 25.
- Marco ha il triplo degli anni di Luca; tra 10 anni ne avrà il doppio. Con x gli anni di Luca: 3x + 10 = 2(x + 10), quindi x = 10. Luca ha 10 anni, Marco 30, e tra dieci anni avranno 20 e 40.
- Un rettangolo ha perimetro 40 cm e la base supera l'altezza di 4 cm. Con x l'altezza: 2(x + x + 4) = 40, cioè 4x + 8 = 40, quindi x = 8. L'altezza è 8 cm e la base 12 cm, e infatti 2 × (8 + 12) = 40.
Un metodo che aiuta: scrivere prima in parole che cosa rappresenta la x, poi l'equazione, e alla fine controllare che la soluzione abbia senso nel contesto. Anche molte proporzioni si risolvono così, come equazioni.
Esercizi svolti
Prova a risolverle da solo, poi confronta e fai sempre la verifica.
| Equazione | Passaggi | Soluzione |
|---|---|---|
| 5x − 7 = 18 | 5x = 25 | x = 5 |
| 2(x + 3) = 14 | 2x + 6 = 14, 2x = 8 | x = 4 |
| 7 − 3x = x − 9 | 16 = 4x | x = 4 |
| x/2 + 3 = 11 | x/2 = 8 | x = 16 |
| 3x/4 = 9 | 3x = 36 | x = 12 |
| 0,5x + 1,5 = 4 | 0,5x = 2,5 | x = 5 |
| (2x − 1)/3 = x − 2 | 2x − 1 = 3x − 6 | x = 5 |
Le equazioni compaiono anche nella prova scritta dell'esame finale: la nostra guida all'esame di terza media spiega come è fatta. Kalc allena tabelline, frazioni, percentuali e algebra in circa dieci minuti al giorno.
Domande frequenti
Come si risolve un'equazione di primo grado?
Si tolgono le parentesi, si portano i termini con la x da una parte e i numeri dall'altra cambiando segno, si riducono i termini simili e si divide per il coefficiente della x.
Quali sono i principi di equivalenza?
Si può aggiungere o togliere lo stesso numero a entrambi i membri, e moltiplicarli o dividerli per lo stesso numero diverso da zero, senza cambiare la soluzione.
Come si verifica la soluzione di un'equazione?
Si sostituisce il valore trovato al posto della x nei due membri: se danno lo stesso numero, la soluzione è giusta.
Quando un'equazione è impossibile?
Quando, riducendo, la x sparisce e resta un'uguaglianza falsa, come 0 = 2. Se resta un'uguaglianza vera, come 0 = 0, l'equazione è indeterminata.
Come si risolve un'equazione con le frazioni?
Si moltiplicano tutti i termini per il minimo comune multiplo dei denominatori, compresi quelli senza frazione, e poi si procede come al solito.
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