Définition et vocabulaire
Dans l'écriture an :
- a est appelé la base
- n est appelé l'exposant
- L'expression entière se lit « a puissance n » ou « a exposant n »
Cas particuliers à retenir :
- a1 = a (toute base à la puissance 1 vaut elle-même)
- a0 = 1 pour tout a non nul (par convention mathématique)
- a2 se lit aussi « a au carré » (lien géométrique avec l'aire d'un carré)
- a3 se lit aussi « a au cube » (lien géométrique avec le volume d'un cube)
Les règles de calcul
Quatre règles à mémoriser pour manipuler les puissances :
- am × an = am+n (produit de puissances de même base)
- am ÷ an = am−n (quotient de puissances de même base)
- (am)n = am×n (puissance d'une puissance)
- (a × b)n = an × bn (puissance d'un produit)
Exemples :
- 23 × 24 = 27 = 128
- 105 ÷ 102 = 103 = 1000
- (32)3 = 36 = 729
Les puissances de 10 et la notation scientifique
Les puissances de 10 sont la fondation du système décimal :
- 101 = 10 (une dizaine)
- 102 = 100 (une centaine)
- 103 = 1 000 (un millier)
- 106 = 1 000 000 (un million)
- 109 = 1 000 000 000 (un milliard)
Multiplier par 10n revient à décaler la virgule de n positions vers la droite. Diviser par 10n, c'est le contraire (n positions vers la gauche).
La notation scientifique exploite cette propriété pour écrire des nombres très grands ou très petits. Par exemple, la masse de la Terre vaut 5,97 × 1024 kg, ce qui est plus lisible que 5 970 000 000 000 000 000 000 000 kg.
Pratique puissances dans Kalc
L'application Kalc te fait travailler ce concept à travers des exercices ciblés, avec un système de répétition espacée qui consolide ta mémorisation à long terme.
Questions fréquentes
À quel niveau apprend-on les puissances ?
En France, les puissances sont introduites en 4e (13 ans), avec les puissances entières positives et les puissances de 10. Les puissances négatives et la notation scientifique sont enseignées en 3e. Au Québec, les bases sont posées au secondaire 1.
Que signifie a puissance 0 ?
Par convention mathématique, a^0 = 1 pour tout nombre a non nul. Cette convention découle de la règle a^m ÷ a^n = a^(m−n) : si on calcule a^3 ÷ a^3, on obtient à la fois a^0 (par la règle) et 1 (par le calcul direct, puisque le quotient d'un nombre par lui-même vaut 1). Donc a^0 = 1.
Quelle est la différence entre 2^3 et 3^2 ?
2^3 = 2 × 2 × 2 = 8, alors que 3^2 = 3 × 3 = 9. La puissance n'est pas commutative : a^b est généralement différent de b^a. C'est une erreur classique d'inverser la base et l'exposant.