Il teorema di Pitagora dice che in un triangolo rettangolo il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati dei due cateti: c² = a² + b².
Si studia alla scuola secondaria di primo grado e torna in ogni anno successivo, dalla geometria alla fisica. Qui trovi la formula e il suo significato, come calcolare l'ipotenusa e un cateto, le terne da sapere a memoria ed esercizi svolti del tipo che compare nelle prove INVALSI, con gli errori più comuni.
Il teorema in breve: la formula di Pitagora
In un triangolo rettangolo i due lati che formano l'angolo retto si chiamano cateti (a e b), il lato opposto si chiama ipotenusa (c) ed è sempre il più lungo. La relazione c² = a² + b² ha anche un significato geometrico: l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti. Con cateti 3 e 4: 3² + 4² = 9 + 16 = 25, e l'ipotenusa misura 5, perché 5² = 25.
Le nuove Indicazioni nazionali per il curricolo (decreto del 9 dicembre 2025) mettono tra gli obiettivi al termine della classe terza della secondaria di primo grado proprio questo: applicare il teorema in contesti geometrici e reali e risolvere problemi applicando teoremi, come quello di Pitagora o quelli di Euclide. Servono quadrati e radici quadrate a colpo sicuro: le proprietà delle potenze aiutano a non sbagliarli.
Come calcolare l'ipotenusa
Si elevano al quadrato i due cateti, si sommano e si estrae la radice quadrata: c = √(a² + b²).
- Cateti 6 e 8: √(36 + 64) = √100 = 10.
- Cateti 5 e 12: √(25 + 144) = √169 = 13.
- Cateti 1 e 1: √2, circa 1,41: la diagonale di un quadrato di lato 1.
- Cateti 7 e 9: √(49 + 81) = √130, circa 11,40.
Un controllo veloce: l'ipotenusa deve essere più lunga di ciascun cateto, ma più corta della loro somma. Con cateti 6 e 8, un risultato come 14 o come 7 segnala subito un errore.
Come calcolare un cateto
Se conosci l'ipotenusa e un cateto, il procedimento è simile, ma si sottrae: a = √(c² − b²). Il quadrato più grande, quello dell'ipotenusa, viene sempre per primo.
- Ipotenusa 10, cateto 6: √(100 − 36) = √64 = 8.
- Ipotenusa 25, cateto 7: √(625 − 49) = √576 = 24.
- Ipotenusa 13, cateto 12: √(169 − 144) = √25 = 5.
- Con i decimali il procedimento resta identico: ipotenusa 2,5 e cateto 1,5 danno √(6,25 − 2,25) = √4 = 2.
L'errore più frequente è sommare i quadrati anche in questo caso: con ipotenusa 10 e cateto 6 si otterrebbe √136, circa 11,7, un cateto più lungo dell'ipotenusa. Basta ricordare che l'ipotenusa è il lato più lungo per accorgersene.
Le terne pitagoriche da sapere a memoria
Una terna pitagorica è un gruppo di tre numeri interi che verificano la relazione c² = a² + b². Riconoscerle fa risparmiare tempo: se i cateti sono 5 e 12, l'ipotenusa è 13 senza bisogno di calcoli.
| Terna | Verifica | Multipli utili |
|---|---|---|
| 3, 4, 5 | 9 + 16 = 25 | 6, 8, 10; 9, 12, 15; 12, 16, 20 |
| 5, 12, 13 | 25 + 144 = 169 | 10, 24, 26 |
| 8, 15, 17 | 64 + 225 = 289 | 16, 30, 34 |
| 7, 24, 25 | 49 + 576 = 625 | 14, 48, 50 |
| 20, 21, 29 | 400 + 441 = 841 | 40, 42, 58 |
| 9, 40, 41 | 81 + 1600 = 1681 | 18, 80, 82 |
Moltiplicando i tre numeri di una terna per lo stesso intero si ottiene un'altra terna, ed è così che molti esercizi nascondono un 3, 4, 5. Per riconoscerle al volo serve sapere a memoria i quadrati fino a 25 circa, un allenamento che rientra nei trucchi di calcolo mentale da imparare per primi.
Esercizi su Pitagora come nelle prove INVALSI
Nel Quadro di riferimento delle prove INVALSI di matematica, tra gli esempi di domande di terza media (grado 8) c'è un quesito a scelta multipla il cui scopo è risolvere un problema sfruttando le proprietà delle figure geometriche e Pitagora. È il tipo di esercizio più comune: il triangolo rettangolo non è disegnato, va trovato dentro un'altra figura.
| Esercizio | Triangolo rettangolo nascosto | Risultato |
|---|---|---|
| Diagonale di un rettangolo 9 × 12 cm | Cateti 9 e 12, la diagonale è l'ipotenusa | 15 cm |
| Altezza di un triangolo isoscele con base 10 cm e lati obliqui 13 cm | Ipotenusa 13, cateto 5 (metà base) | Altezza 12 cm, area 60 cm² |
| Lato di un rombo con diagonali 16 e 12 cm | Cateti 8 e 6, metà delle diagonali | 10 cm |
| Scala di 5 m con il piede a 1,4 m dal muro | Ipotenusa 5, cateto 1,4 | Altezza raggiunta 4,8 m |
Il metodo è sempre lo stesso: individuare l'angolo retto, capire quale lato è l'ipotenusa, poi applicare la formula giusta. Per sapere come sono organizzate le prove di terza media, durata e livelli compresi, leggi la nostra guida all'INVALSI di matematica in terza media.
Il triangolo è rettangolo? La verifica inversa
La relazione funziona anche al contrario, ed è utile per riconoscere un angolo retto senza goniometro: se il quadrato del lato più lungo è uguale alla somma dei quadrati degli altri due, il triangolo è rettangolo. Con lati 6, 8 e 10: 36 + 64 = 100, quindi sì. Con lati 6, 7 e 9: 36 + 49 = 85, mentre 9² = 81, quindi no.
Il confronto dice anche di più. Se il quadrato del lato maggiore è più piccolo della somma degli altri due quadrati, come in questo caso (81 contro 85), il triangolo è acutangolo; se è più grande, è ottusangolo. I muratori usano da sempre la terna 3, 4, 5 per tracciare un angolo retto con una corda: segnano 3 m su un lato, 4 m sull'altro e controllano che la distanza tra i due segni sia 5 m.
Nel piano cartesiano, la stessa idea dà la distanza tra due punti. Da A(1; 2) a B(4; 6) ci si sposta di 3 in orizzontale e di 4 in verticale, i due cateti di un triangolo rettangolo, quindi AB = √(9 + 16) = 5.
Gli errori più comuni e come evitarli
- Usarlo in un triangolo qualsiasi. La relazione vale solo nei triangoli rettangoli. Vale però anche il contrario: se c² = a² + b², il triangolo è rettangolo.
- Scambiare ipotenusa e cateto. L'ipotenusa è sempre opposta all'angolo retto e sempre il lato più lungo.
- Sommare le lunghezze invece dei quadrati. Con cateti 3 e 4, l'ipotenusa misura 5, e 7 è un errore classico.
- Dimenticare la radice. 3² + 4² = 25 è il quadrato dell'ipotenusa, non l'ipotenusa.
- Arrotondare troppo presto. Con √130, conviene tenere il valore esatto fino all'ultimo passaggio.
Un'abitudine utile è disegnare sempre il triangolo, anche a mano libera, segnando l'angolo retto e scrivendo c accanto all'ipotenusa: la metà degli errori sparisce prima ancora di cominciare i calcoli.
Domande frequenti
Come si calcola l'ipotenusa?
Si sommano i quadrati dei due cateti e si estrae la radice quadrata: con cateti 6 e 8, √(36 + 64) = √100 = 10.
Come si trova un cateto conoscendo l'ipotenusa?
Si sottrae il quadrato del cateto noto dal quadrato dell'ipotenusa e si estrae la radice: con ipotenusa 10 e cateto 6, √(100 − 36) = 8.
Quali sono le terne pitagoriche più comuni?
3, 4, 5; 5, 12, 13; 8, 15, 17 e 7, 24, 25, insieme ai loro multipli come 6, 8, 10.
Quando si studia Pitagora a scuola?
Alla scuola secondaria di primo grado: le Indicazioni nazionali del 2025 lo mettono tra gli obiettivi al termine della classe terza, applicato in contesti geometrici e reali.
Si può usare la formula di Pitagora in un triangolo qualsiasi?
No, solo nei triangoli rettangoli. Al contrario, se i lati verificano c² = a² + b², il triangolo è rettangolo.
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