Cosinus, sinus et tangente : la trigonométrie du triangle rectangle pas à pas

Dans un triangle rectangle, la trigonométrie relie un angle aigu à deux côtés : cosinus = adjacent ÷ hypoténuse, sinus = opposé ÷ hypoténuse, tangente = opposé ÷ adjacent.

Ces trois rapports servent à deux choses au collège : calculer une longueur quand on connaît un angle, et calculer un angle quand on connaît deux longueurs. Voici comment repérer les côtés, choisir la bonne formule, utiliser la calculatrice et vérifier un résultat, avec ce que disent le programme de troisième et la liste d'automatismes du brevet.

Repérer l'hypoténuse et les côtés dans le triangle rectangle

Tout commence par le nom des côtés, et ce nom dépend de l'angle qu'on regarde. L'hypoténuse est toujours le côté opposé à l'angle droit, le plus long des trois. Pour un angle aigu donné, le côté opposé est celui qui ne touche pas cet angle, et le côté adjacent est celui qui le touche sans être l'hypoténuse.

Prenons un triangle ABC rectangle en B. Pour l'angle en A, l'hypoténuse est [AC], le côté adjacent est [AB] et le côté opposé est [BC]. Pour l'angle en C, l'hypoténuse reste [AC], mais les deux autres côtés échangent leurs rôles : [BC] devient adjacent et [AB] opposé. Coder la figure, avec le petit carré de l'angle droit et un arc sur l'angle étudié, évite la plupart des confusions.

Au collège, ces formules s'utilisent uniquement dans un triangle rectangle. Si l'énoncé ne dit pas que le triangle est rectangle, il faut d'abord le démontrer, par exemple avec la réciproque du théorème de Pythagore.

Cosinus, sinus et tangente : les trois formules

Pour un angle aigu d'un triangle rectangle, les trois rapports sont les suivants. Ils dépendent seulement de l'angle et non de la taille du triangle : deux triangles rectangles qui ont le même angle aigu donnent le même cosinus, le même sinus et la même tangente.

Comme l'hypoténuse est le plus long côté, le cosinus et le sinus d'un angle aigu sont toujours compris entre 0 et 1. Un cosinus de 1,2 signale donc une erreur dans le choix des côtés. La tangente, elle, peut dépasser 1 : pour un angle de 60°, elle vaut environ 1,73.

Le moyen mnémotechnique CAH SOH TOA résume les trois lignes du tableau : Cosinus = Adjacent sur Hypoténuse, Sinus = Opposé sur Hypoténuse, Tangente = Opposé sur Adjacent.

Calculer une longueur avec le cosinus

La méthode est toujours la même, que la longueur cherchée soit en haut ou en bas du rapport :

1. Repérer l'angle connu et nommer les côtés par rapport à lui.
2. Choisir le rapport qui relie la longueur connue et la longueur cherchée.
3. Écrire l'égalité, puis la résoudre comme un produit en croix.
4. Arrondir seulement à la fin, à la précision demandée.

Exemple : ABC est rectangle en B, l'angle en A mesure 35° et AC = 8 cm. On cherche AB, le côté adjacent à l'angle en A, et on connaît l'hypoténuse : c'est le cosinus. cos 35° = AB/8, donc AB = 8 × cos 35° ≈ 8 × 0,819 ≈ 6,6 cm au millimètre près.

Quand la longueur cherchée est au dénominateur, on la fait passer de l'autre côté. Si l'angle en A mesure 40° et AB = 5 cm, l'hypoténuse vérifie cos 40° = 5/AC, donc AC = 5 ÷ cos 40° ≈ 6,5 cm. C'est le même calcul que pour les produits en croix : 5/AC = cos 40°/1, donc AC × cos 40° = 5.

Le sinus et la tangente se manient exactement de la même façon. Dans le premier exemple, BC est opposé à l'angle en A : sin 35° = BC/8, donc BC = 8 × sin 35° ≈ 4,6 cm.

Calculer un angle avec la calculatrice

Quand on connaît deux côtés, on calcule d'abord le rapport, puis on remonte à l'angle avec la fonction réciproque de la calculatrice, notée Arccos, Arcsin et Arctan, ou cos⁻¹, sin⁻¹ et tan⁻¹ selon les modèles. On l'obtient en général avec la touche seconde ou shift, puis cos, sin ou tan.

Exemple : ABC est rectangle en B, avec AB = 6 cm, BC = 8 cm et AC = 10 cm. Pour l'angle en A, le côté adjacent mesure 6 cm et l'hypoténuse 10 cm, donc cos A = 6/10 = 0,6. La calculatrice donne Arccos(0,6) ≈ 53,1°. Avec la tangente, tan A = 8/6 ≈ 1,33 donne le même angle, ce qui confirme le résultat.

Deux précautions. La calculatrice doit être réglée en degrés : en radians, cos 60 ne donne pas 0,5. Et l'arrondi se fait à la fin, sur l'angle, pas sur le rapport intermédiaire. Pour le choix du modèle et le mode examen, voir quelle calculatrice utiliser au collège et au brevet.

Les deux angles aigus d'un triangle rectangle font 90° à eux deux. Une fois l'angle en A trouvé, l'angle en C vaut 90° − 53,1° = 36,9°, sans nouveau calcul de trigonométrie.

Choisir entre cosinus, sinus et tangente

Le bon rapport se choisit en deux questions. Quel angle connaît-on, ou cherche-t-on ? Quels côtés sont en jeu par rapport à cet angle, celui qu'on connaît et celui qu'on cherche ?

• Le côté adjacent et l'hypoténuse : cosinus.
• Le côté opposé et l'hypoténuse : sinus.
• Le côté opposé et le côté adjacent : tangente.

Si aucun angle n'intervient et qu'on cherche le troisième côté à partir des deux autres, ce n'est plus de la trigonométrie : l'égalité de Pythagore suffit. À l'inverse, dès qu'un angle est donné ou demandé, Pythagore ne suffit plus.

Un exemple de choix : une échelle de 4 m posée contre un mur fait un angle de 70° avec le sol. Pour la hauteur atteinte sur le mur, on connaît l'hypoténuse, l'échelle, et on cherche le côté opposé à l'angle de 70° : c'est le sinus. Hauteur = 4 × sin 70° ≈ 3,76 m.

La trigonométrie au programme de troisième et au brevet

Dans le nouveau programme de mathématiques du cycle 4, fixé par l'arrêté du 18 février 2026, l'objectif figure en troisième, dans la partie consacrée aux triangles, juste après le théorème de Thalès : connaître et utiliser les lignes trigonométriques dans le triangle rectangle, cosinus, sinus et tangente. L'arrêté prévoit que ce programme s'applique en troisième à la rentrée 2028 ; d'ici là, les élèves de troisième suivent encore l'ancien.

Pour l'épreuve écrite, la liste indicative d'automatismes du brevet 2026 cite une seule ligne trigonométrique, le cosinus : reconnaître une situation où il s'applique, mettre en place l'automatisme sur l'égalité des rapports de longueur, et garder un regard critique sur les conditions d'utilisation et les résultats obtenus. La même liste traite de la même façon Pythagore et Thalès.

Ce regard critique tient en trois vérifications : le triangle est-il bien rectangle, le rapport associe-t-il les bons côtés, et le résultat est-il cohérent avec la figure, avec un cosinus entre 0 et 1 et un côté plus court que l'hypoténuse ?

Exercices corrigés pour s'entraîner

Dans chaque exercice, ABC est un triangle rectangle en B. Les longueurs sont arrondies au millimètre et les angles au dixième de degré.

Les deux premières lignes se vérifient avec Pythagore : 6,553² + 4,589² ≈ 64, soit 8², ce qui confirme les deux calculs avant arrondi. Refaire ces exercices sans regarder la colonne de droite, puis changer un nombre à chaque fois, est une bonne façon de rendre le choix du rapport automatique.

Questions fréquentes

Comment calculer le cosinus d'un angle ?

Dans un triangle rectangle, on divise le côté adjacent à l'angle par l'hypoténuse. Avec un côté adjacent de 6 cm et une hypoténuse de 10 cm, le cosinus vaut 0,6.

Comment trouver un angle avec la trigonométrie ?

On calcule le rapport des deux côtés connus, puis on utilise la touche Arccos, Arcsin ou Arctan (cos⁻¹, sin⁻¹, tan⁻¹) de la calculatrice, réglée en degrés.

Quelle est la différence entre le sinus et la tangente ?

Le sinus divise le côté opposé par l'hypoténuse, la tangente divise le côté opposé par le côté adjacent. Le sinus d'un angle aigu reste inférieur à 1, la tangente peut dépasser 1.

Quand utiliser la trigonométrie plutôt que Pythagore ?

Dès qu'un angle est donné ou demandé. Pythagore relie seulement les trois côtés d'un triangle rectangle.

Est-ce que la trigonométrie tombe au brevet ?

La liste indicative d'automatismes du brevet 2026 cite le cosinus : reconnaître une situation où il s'applique et utiliser l'égalité des rapports de longueur.