Selon le théorème attribué à Pythagore, dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Avec des côtés de 3 cm et 4 cm, l'hypoténuse mesure 5 cm, car 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5². Cette égalité sert à trois choses : calculer l'hypoténuse, calculer un côté de l'angle droit, et, avec la réciproque, prouver qu'un triangle est rectangle. Ce guide les présente une par une, avec les carrés à connaître, ce que demandent le programme et le brevet, et des exercices corrigés.
Repérer le triangle rectangle et l'hypoténuse
Tout commence par une étape que l'on oublie souvent : vérifier que le triangle est rectangle, et repérer l'hypoténuse. C'est le côté opposé à l'angle droit, et toujours le plus long des trois.
Dans un triangle ABC rectangle en A, l'hypoténuse est [BC], et l'égalité s'écrit :
BC² = AB² + AC²
Si le triangle est rectangle en B, tout change de place : l'hypoténuse devient [AC] et l'égalité s'écrit AC² = AB² + BC². C'est pour cela qu'il faut nommer l'angle droit avant d'écrire quoi que ce soit.
Une erreur fréquente consiste à placer seul, d'un côté du signe égal, un côté qui n'est pas l'hypoténuse. Pour l'éviter, commence toujours par écrire « le triangle est rectangle en A, donc son hypoténuse est [BC] » : la suite du calcul en découle.
Le théorème : l'égalité de Pythagore en trois usages
La même égalité se lit dans plusieurs sens. Le tableau résume les trois usages et la conclusion à rédiger.
| Usage | Ce que l'on connaît | Calcul | Exemple |
|---|---|---|---|
| Calculer l'hypoténuse | Les deux côtés de l'angle droit | Additionner les carrés, puis prendre la racine | 3 et 4 : 9 + 16 = 25, donc 5 |
| Calculer un côté de l'angle droit | L'hypoténuse et un autre côté | Soustraire les carrés, puis prendre la racine | 13 et 5 : 169 − 25 = 144, donc 12 |
| Prouver qu'un triangle est rectangle | Les trois côtés | Comparer le carré du plus grand à la somme des deux autres | 6, 8, 10 : 36 + 64 = 100 = 10², rectangle |
| Prouver qu'il ne l'est pas | Les trois côtés | Même comparaison, résultat différent | 5, 6, 8 : 25 + 36 = 61, mais 8² = 64 |
Les deux dernières lignes correspondent à la réciproque et à la contraposée, détaillées plus bas.
Calculer l'hypoténuse ou un autre côté
Pour l'hypoténuse, on additionne : dans un triangle rectangle de côtés 9 cm et 12 cm, BC² = 81 + 144 = 225, donc BC = √225 = 15 cm. Pour un côté de l'angle droit, on soustrait : si l'hypoténuse mesure 25 cm et un côté 7 cm, l'autre vaut √(625 − 49) = √576 = 24 cm.
Quand le résultat n'est pas un carré parfait, la racine se donne en valeur exacte ou arrondie : avec deux côtés de 5 cm, l'hypoténuse vaut √50 cm, soit environ 7,07 cm. Le nouveau programme de mathématiques du cycle 4 introduit d'ailleurs la racine carrée en lien avec des situations géométriques comme celle-ci.
Une astuce pour éviter les erreurs : avant de calculer, estime l'ordre de grandeur. L'hypoténuse est toujours plus longue que chacun des deux autres côtés, mais plus courte que leur somme. Avec 9 et 12, le résultat doit donc se situer entre 12 et 21 : 15 est plausible, 225 ne l'est pas, c'est le carré oublié sous la racine.
Connaître les carrés de 1 à 15 par cœur accélère tout : 121, 144, 169, 196 et 225 reviennent sans cesse. Notre fiche sur les puissances rappelle les règles de calcul sur les carrés.
La réciproque de Pythagore pour prouver un angle droit
La réciproque dit l'inverse : si, dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres, alors le triangle est rectangle, et l'angle droit est opposé au plus grand côté. La contraposée sert dans l'autre sens : si l'égalité n'est pas vérifiée, le triangle n'est pas rectangle.
La rédaction suit toujours le même plan. On calcule séparément le carré du plus grand côté, puis la somme des carrés des deux autres, et seulement ensuite on compare. Écrire directement « 8² = 5² + 6² » avant d'avoir calculé est une erreur de raisonnement, même si la conclusion finale est juste.
Pythagore sert aussi en dehors de la classe. Pour vérifier qu'un coin est bien d'équerre, on mesure 3 m sur un côté et 4 m sur l'autre : la diagonale doit faire exactement 5 m. Et la taille d'un écran se donne par sa diagonale : un écran de 80 cm de large sur 45 cm de haut a une diagonale de √(6 400 + 2 025) = √8 425, soit environ 91,8 cm.
Quelques triplets reviennent souvent dans les exercices : (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17) et (7, 24, 25), ainsi que leurs multiples, comme (6, 8, 10).
Pythagore au programme et au brevet
Dans le nouveau programme du cycle 4, appliqué en 4e à partir de la rentrée 2027, connaître le théorème, sa réciproque et sa contraposée fait partie des objectifs de 4e. En 3e, écrire l'égalité de Pythagore dans un triangle rectangle devient un automatisme.
Au brevet, la liste indicative d'automatismes publiée en octobre 2025 demande de reconnaître une situation où il s'applique, de mettre en place l'automatisme sur l'égalité et de garder un regard critique sur les conditions d'utilisation et les résultats obtenus. Concrètement : vérifier que le triangle est rectangle avant de calculer, et se demander si la longueur trouvée est plausible. Notre guide sur les automatismes du brevet détaille cette première partie de l'épreuve, et celui sur le brevet de 2027 donne les dates et le calcul de la note finale.
Pythagore, exercices corrigés
Fais chaque exercice au brouillon, puis compare avec la correction.
| Énoncé | Calcul | Résultat |
|---|---|---|
| Côtés de l'angle droit : 9 cm et 12 cm | 81 + 144 = 225 | Hypoténuse : 15 cm |
| Hypoténuse 25 cm, un côté 7 cm | 625 − 49 = 576 | Autre côté : 24 cm |
| Côtés de l'angle droit : 5 cm et 5 cm | 25 + 25 = 50 | √50, environ 7,07 cm |
| Triangle de côtés 8, 15 et 17 | 64 + 225 = 289 et 17² = 289 | Rectangle |
| Triangle de côtés 7, 10 et 12 | 49 + 100 = 149 et 12² = 144 | Pas rectangle |
| Échelle de 5 m, pied à 1,4 m du mur | 25 − 1,96 = 23,04 | Hauteur atteinte : 4,8 m |
Pour chaque exercice, la rédaction attendue tient en trois lignes : le triangle est rectangle en tel sommet, donc l'égalité s'écrit ainsi ; on remplace et on calcule ; on conclut avec l'unité.
Le dernier exercice est typique d'un problème concret : le mur, le sol et l'échelle forment un triangle rectangle dont l'échelle est l'hypoténuse. Kalc entraîne les tables, les fractions, les pourcentages et l'algèbre en une dizaine de minutes par jour, ce qui rend les carrés et les soustractions de ce genre beaucoup plus rapides.
Questions fréquentes
Quelle est la formule de Pythagore ?
Dans un triangle ABC rectangle en A, BC² = AB² + AC² : le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Comment calculer l'hypoténuse d'un triangle rectangle ?
On additionne les carrés des deux côtés de l'angle droit, puis on prend la racine carrée. Avec 9 et 12 : 81 + 144 = 225, donc 15.
Pourquoi utiliser la réciproque de Pythagore ?
À prouver qu'un triangle est rectangle : si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres, l'angle opposé est droit.
Comment montrer qu'un triangle n'est pas rectangle ?
On compare le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres. S'ils diffèrent, la contraposée permet de conclure qu'il n'est pas rectangle.
Quand étudie-t-on Pythagore au collège ?
Dans le programme du cycle 4 publié en mars 2026, le théorème et sa réciproque sont des objectifs de 4e, et l'égalité devient un automatisme en 3e.
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