Les produits en croix donnent la valeur manquante d'un tableau de proportionnalité, en multipliant les deux nombres placés en diagonale puis en divisant par le troisième.
Si 3 kg de pommes coûtent 7,50 €, 5 kg coûtent 5 × 7,50 ÷ 3, soit 12,50 €. La règle tient en une ligne et sert partout : recettes, vitesses, échelles, pourcentages. Mais elle a une condition, que l'on oublie souvent : la situation doit être proportionnelle. Ce guide explique la méthode étape par étape, pourquoi elle fonctionne, ce que dit le programme de collège, comment reconnaître une situation qui n'est pas proportionnelle et comment faire le calcul de tête.
Comment faire les produits en croix, étape par étape
La méthode suit toujours les mêmes quatre étapes :
- Vérifier la proportionnalité. Si on double une grandeur, l'autre double-t-elle aussi ? Pour des pommes vendues au kilo, oui.
- Ranger les données dans un tableau. Une ligne par grandeur : les masses en haut (3 et 5), les prix en bas (7,50 et la valeur cherchée, notée x).
- Multiplier en diagonale. Le nombre en face de x en diagonale est 7,50 et l'autre est 5 : 5 × 7,50 = 37,50.
- Diviser par le nombre restant. 37,50 ÷ 3 = 12,50. Les 5 kg coûtent 12,50 €.
On peut vérifier le résultat avec le prix au kilo : 7,50 ÷ 3 = 2,50 € le kilo, et 5 × 2,50 = 12,50. Les deux méthodes doivent donner la même réponse ; si ce n'est pas le cas, une donnée a été placée dans la mauvaise case.
L'erreur la plus fréquente est de multiplier les deux nombres de la même colonne. Pour l'éviter, encadre au crayon la diagonale qui contient x : on multiplie les deux nombres de l'autre diagonale, puis on divise par celui qui est en face de x.
Le tableau de proportionnalité et la quatrième proportionnelle
Le nombre que l'on cherche s'appelle la quatrième proportionnelle : on connaît trois valeurs d'un tableau de proportionnalité et on calcule la quatrième. Voici les situations les plus courantes.
| Situation | Données | Calcul | Résultat |
|---|---|---|---|
| Recette | 300 g de farine pour 4 personnes, combien pour 6 ? | 6 × 300 ÷ 4 | 450 g |
| Vitesse constante | 150 km en 2 h, combien en 3 h ? | 3 × 150 ÷ 2 | 225 km |
| Échelle 1/25 000 | 4 cm sur la carte, combien en réalité ? | 4 × 25 000 | 100 000 cm, soit 1 km |
| Pourcentage | 6 voix sur 24, combien sur 100 ? | 6 × 100 ÷ 24 | 25 % |
| Prix | 3 kg pour 7,50 €, combien pour 5 kg ? | 5 × 7,50 ÷ 3 | 12,50 € |
Le pourcentage est un cas particulier très utile : dire que 6 voix sur 24 font 25 %, c'est compléter un tableau dont la deuxième colonne est fixée à 100. Le même raisonnement sert pour calculer une augmentation en pourcentage ou une réduction.
Pourquoi les produits en croix sont égaux
Dans un tableau de proportionnalité, on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre, le coefficient de proportionnalité. Les rapports sont donc égaux : 7,50/3 = x/5.
Or deux fractions a/b et c/d sont égales exactement quand a × d = b × c. C'est cette égalité que l'on appelle produits en croix : 7,50 × 5 = 3 × x. Il ne reste qu'à diviser par 3 pour isoler x. La règle n'est donc pas une recette à apprendre par cœur, mais une conséquence directe des fractions égales, celles que l'on simplifie en classe dans le chapitre sur la simplification des fractions.
Cette égalité sert aussi à vérifier qu'un tableau est proportionnel : si 3 × 12,50 et 5 × 7,50 donnent tous deux 37,50, les deux colonnes sont bien proportionnelles. Si les deux produits diffèrent, le tableau ne l'est pas.
Règle de trois, linéarité ou retour à l'unité
On parle aussi de règle de trois, parce que l'on part de trois nombres connus. Mais ce n'est pas la seule méthode, et le collège en enseigne d'autres, souvent plus rapides.
Le nouveau programme de mathématiques du cycle 4, publié au Bulletin officiel du 5 mars 2026 et appliqué en 5e depuis la rentrée 2026, demande en 5e de reconnaître si une situation relève de la proportionnalité et de mobiliser une procédure adaptée : la linéarité, pour la multiplication ou l'addition, ou le retour à l'unité. Son exemple : à partir d'une recette pour 4 personnes, savoir donner les quantités pour 2, 8 ou 6 personnes. La détermination d'une quatrième proportionnelle figure parmi les objectifs de 4e, qui appliquera ce programme à la rentrée 2027. Le texte ne nomme pas les produits en croix.
- Linéarité. Pour 8 personnes, on double les quantités prévues pour 4 ; pour 6, on additionne celles de 4 et de 2.
- Retour à l'unité. On calcule la quantité pour une personne, puis on multiplie : 300 ÷ 4 = 75 g, et 75 × 6 = 450 g.
- Coefficient. On cherche par combien multiplier une ligne pour obtenir l'autre : ici 2,50 € par kilo.
Le produit en croix reste la méthode la plus générale, utile quand les nombres ne se prêtent à aucun raccourci.
Reconnaître une situation de proportionnalité
La règle donne toujours un nombre, même quand elle ne devrait pas s'appliquer. C'est son principal piège : avant de calculer, il faut vérifier que les deux grandeurs sont proportionnelles.
| Situation | Proportionnelle ? | Pourquoi |
|---|---|---|
| Prix et masse de tomates au kilo | Oui | Le prix au kilo ne change pas |
| Côté et périmètre d'un carré | Oui | Le périmètre vaut toujours 4 fois le côté |
| Côté et aire d'un carré | Non | Si le côté double, l'aire est multipliée par 4 |
| Taxi : 4 € de prise en charge et 2 € par km | Non | 10 km coûtent 24 €, mais 5 km coûtent 14 €, pas 12 € |
| Âge et taille d'un enfant | Non | La croissance ralentit avec l'âge |
| Forfait téléphonique à prix fixe | Non | Le prix ne dépend pas de la consommation |
L'exemple du taxi montre l'erreur classique : avec un tableau 10 km pour 24 €, le calcul en croix annonce 12 € pour 5 km, alors que la course coûte 4 + 2 × 5 = 14 €. Dès qu'il y a une partie fixe, la situation n'est plus proportionnelle.
Un test rapide : sur un graphique, une situation de proportionnalité donne des points alignés sur une droite qui passe par l'origine.
Au brevet et de tête
La proportionnalité fait partie des automatismes du brevet. La liste indicative d'automatismes publiée en octobre 2025 pour l'épreuve de 2026 demande de reconnaître si une situation relève de la proportionnalité, de mobiliser une procédure adaptée dans des situations simples et d'appliquer une augmentation ou une diminution exprimée en pourcentage. Notre guide sur la partie automatismes du brevet explique comment s'y entraîner.
De tête, le calcul devient plus simple si l'on divise avant de multiplier. Pour 5 × 7,50 ÷ 3, on calcule d'abord 7,50 ÷ 3 = 2,50, puis 5 × 2,50 = 12,50. Pour 6 × 300 ÷ 4, on fait 300 ÷ 4 = 75, puis 75 × 6 = 450. Simplifier avant de calculer évite les grands nombres et les erreurs qui vont avec.
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Questions fréquentes
Comment calculer une quatrième proportionnelle ?
On range les trois valeurs connues dans un tableau de proportionnalité, on multiplie les deux nombres placés en diagonale, puis on divise par le troisième. Exemple : 5 × 7,50 ÷ 3 = 12,50.
Pourquoi les produits en croix sont-ils égaux ?
Parce que les rapports d'un tableau de proportionnalité sont égaux, et que deux fractions a/b et c/d sont égales exactement quand a × d = b × c.
Quand ne faut-il pas utiliser les produits en croix ?
Quand la situation n'est pas proportionnelle, par exemple un taxi avec une prise en charge fixe, l'aire d'un carré ou la taille d'un enfant selon son âge.
Quelle est la différence entre règle de trois et produits en croix ?
Il s'agit du même calcul : la règle de trois part de trois nombres connus pour trouver le quatrième, et les produits en croix en donnent la justification.
À quel niveau apprend-on la quatrième proportionnelle ?
Dans le programme du cycle 4 publié en mars 2026, la quatrième proportionnelle est un objectif de 4e. La 5e travaille déjà la linéarité et le retour à l'unité.
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