Comment simplifier les fractions grâce aux critères de divisibilité

Simplifier une fraction, c'est diviser son numérateur et son dénominateur par un même nombre : 12/18 devient 2/3 quand on divise les deux par 6. La valeur ne change pas, seule l'écriture devient plus simple.

On recommence tant qu'il reste un diviseur commun. Quand il n'en reste plus, la fraction est irréductible. Ce guide montre comment repérer un diviseur commun de tête grâce aux critères de divisibilité, quand utiliser le PGCD, quelles erreurs éviter et ce que demandent le nouveau programme du cycle 4 et l'épreuve de maths du brevet.

Simplifier les fractions de tête, étape par étape

La méthode tient en trois questions. Le numérateur et le dénominateur sont-ils tous les deux pairs ? Divise par 2. La somme de leurs chiffres est-elle divisible par 3 ? Divise par 3. Finissent-ils tous les deux par 0 ou par 5 ? Divise par 5. Recommence jusqu'à ce qu'aucune des trois questions ne marche plus.

Exemple avec 24/36. Les deux nombres sont pairs : 12/18. Ils le sont encore : 6/9. La somme des chiffres de 6 et de 9 est divisible par 3 : 2/3. Les nombres 2 et 3 n'ont plus de diviseur commun autre que 1, la fraction est irréductible. Trois petites divisions ont remplacé une division par 12.

Le plus rapide reste de reconnaître les tables de multiplication. Dans 15/35, les deux nombres sont dans la table de 5 : 15 = 3 × 5 et 35 = 7 × 5, donc 15/35 = 3/7. Dans 63/14, c'est la table de 7 : 63 = 9 × 7 et 14 = 2 × 7, donc 63/14 = 9/2. Si une table hésite encore, les tables de multiplication de 2 à 12 se revoient en quelques minutes par jour.

Pour t'entraîner, commence par des fractions dont les deux nombres sont dans la même table, comme 21/28, qui devient 3/4 dans la table de 7, ou 32/40, qui devient 4/5 dans la table de 8. Passe ensuite à des nombres plus grands, comme 90/126.

Les critères de divisibilité à connaître

Un critère de divisibilité permet de savoir, sans poser la division, si un nombre est divisible par un autre. Le programme du cycle 4 en cite quatre, par 2, 3, 5 et 9 ; ceux par 4 et par 10 complètent utilement la liste.

Les critères se combinent : un nombre divisible par 2 et par 3 l'est aussi par 6. C'est utile pour 42/66. Les deux nombres sont pairs, et la somme de leurs chiffres, 6 et 12, est divisible par 3 : on peut diviser directement par 6 et obtenir 7/11, qui est irréductible.

Fraction irréductible : quand s'arrêter

Une fraction est irréductible quand son numérateur et son dénominateur n'ont plus aucun diviseur commun autre que 1. Ainsi 2/3, 7/11 et 9/2 sont irréductibles, alors que 6/9 ne l'est pas, puisque 6 et 9 sont encore divisibles par 3.

Deux nombres premiers différents donnent toujours une fraction irréductible, comme 5/7 ou 11/13. Deux nombres qui ne sont pas premiers peuvent l'être aussi : 8/9 est irréductible, car 8 = 2 × 2 × 2 et 9 = 3 × 3 n'ont aucun facteur commun. Pour vérifier, cherche un facteur commun aux deux nombres, et pas seulement un nombre premier qui divise l'un d'eux.

Une fraction irréductible peut aussi être plus grande que 1 : 9/2 en est une. Le programme de 5e demande d'ailleurs de savoir l'écrire comme la somme d'un entier et d'une fraction inférieure à 1, ici 9/2 = 4 + 1/2.

Le PGCD, pour simplifier en une seule fois

Le PGCD de deux nombres, leur plus grand commun diviseur, permet de simplifier en une seule division. Pour 72/96, il vaut 24 : 72 = 3 × 24 et 96 = 4 × 24, donc 72/96 = 3/4.

Pour le trouver, la décomposition en facteurs premiers est la méthode la plus sûre. 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 et 96 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3. Les facteurs communs sont 2 × 2 × 2 × 3, soit 24. Une autre méthode repose sur une propriété simple : un diviseur commun de 96 et de 72 divise aussi leur différence, 24. Comme 24 divise 72, le PGCD est 24. De tête, les simplifications par étapes vont souvent plus vite, et elles mènent au même résultat. Pour 90/126, les deux nombres sont pairs et la somme de leurs chiffres vaut 9 : ils sont divisibles par 2 et par 9, donc par 18, et 90/126 = 5/7.

Ce que demandent le programme et le brevet

Le nouveau programme de mathématiques du cycle 4, publié au Bulletin officiel du 5 mars 2026, entre en application en 5e à la rentrée 2026, en 4e à la rentrée 2027 et en 3e à la rentrée 2028. Il place la simplification des fractions parmi les objectifs de 4e, et la mise d'une fraction sous forme irréductible parmi ceux de 3e. En 3e, il range aussi parmi les automatismes la décomposition d'un entier, comme 60 = 2² × 3 × 5, les fractions dont le numérateur et le dénominateur sont dans une même table, avec les exemples 15/35 et 63/14, et les critères de divisibilité par 2, 3, 5 et 9.

Pour le brevet, la liste indicative d'automatismes publiée pour la session 2026 cite le fait de simplifier, comparer et calculer avec des fractions, ainsi que les mêmes critères de divisibilité. Ces automatismes se travaillent sans calculatrice, comme l'explique notre article sur les automatismes du brevet de maths : c'est là que les réflexes de tête rapportent des points.

Les erreurs qui reviennent

• Simplifier une somme. Dans (2 + 3)/(2 + 5), on ne peut pas « barrer » les 2 : la fraction vaut 5/7, pas 3/5. On ne simplifie que des facteurs, jamais des termes.
• Diviser un seul des deux nombres. 12/18 ne devient pas 2/18 : le numérateur et le dénominateur se divisent toujours par le même nombre.
• S'arrêter trop tôt. 6/9 est plus simple que 24/36, mais il reste un diviseur commun, 3.
• Barrer des chiffres. 16/64 = 1/4, et l'on pourrait croire qu'il suffit de « barrer » les 6. Avec 12/24, la même astuce donnerait 1/4, alors que 12/24 = 1/2.

Pour revoir le vocabulaire, numérateur, dénominateur, fractions égales, la fiche du lexique qu'est-ce qu'une fraction reprend les bases. Kalc entraîne les fractions et les tables de multiplication en dix minutes par jour.

Questions fréquentes

Comment rendre une fraction irréductible ?

En divisant le numérateur et le dénominateur par leur PGCD, ou par étapes, par 2, par 3, par 5, jusqu'à ce qu'ils n'aient plus de diviseur commun autre que 1. Par exemple, 24/36 = 2/3.

Qu'est-ce qu'une fraction irréductible ?

C'est une fraction dont le numérateur et le dénominateur n'ont aucun diviseur commun autre que 1, comme 2/3, 7/11 ou 9/2.

Quels sont les critères de divisibilité par 2, 3, 5 et 9 ?

Par 2 : le chiffre des unités est pair. Par 3 : la somme des chiffres est divisible par 3. Par 5 : le chiffre des unités est 0 ou 5. Par 9 : la somme des chiffres est divisible par 9.

Comment trouver le PGCD de deux nombres pour simplifier ?

Décompose les deux nombres en facteurs premiers et multiplie les facteurs communs. Pour 72 et 96, les facteurs communs sont 2 × 2 × 2 × 3, donc le PGCD vaut 24 et 72/96 = 3/4.

À quel niveau apprend-on à simplifier les fractions ?

Dans le nouveau programme du cycle 4 publié en mars 2026, la simplification des fractions est un objectif de 4e et la forme irréductible un objectif de 3e. Ces classes l'appliquent à partir des rentrées 2027 et 2028.