La regla de 3 sirve para hallar un dato desconocido a partir de otros tres cuando dos magnitudes son proporcionales. Si 3 kilos de manzanas cuestan 4,50 €, 5 kilos cuestan 5 × 4,50 ÷ 3 = 7,50 €.
El método funciona en cocina, en compras, en viajes y en los problemas del colegio, pero solo si las magnitudes son proporcionales. Esta guía explica la versión simple directa, la inversa y la compuesta, cómo reconocer la proporcionalidad y qué casos parecen una regla de 3 sin serlo, con ejemplos que se pueden resolver de cabeza.
Regla de 3 simple directa, paso a paso
En una regla de 3 directa, si una magnitud se duplica, la otra también. El cálculo se ordena en dos filas:
- 3 kg cuestan 4,50 €.
- 5 kg cuestan x €.
Se multiplica en cruz y se divide por el dato que queda: x = 5 × 4,50 ÷ 3 = 7,50 €. De cabeza es más fácil pasar por la unidad: si 3 kg cuestan 4,50 €, 1 kg cuesta 1,50 €, y 5 kg cuestan 7,50 €.
Ese paso por la unidad no es un truco: el Real Decreto 157/2022 de Educación Primaria incluye entre los saberes del razonamiento proporcional la resolución de problemas de proporcionalidad, porcentajes y escalas mediante la igualdad entre razones, la reducción a la unidad o el uso de coeficientes de proporcionalidad. Son tres caminos para el mismo resultado.
| Tipo | Cuándo se usa | Cálculo | Ejemplo |
|---|---|---|---|
| Simple directa | Más de una magnitud, más de la otra | Multiplicar en cruz y dividir | 3 kg, 4,50 €; 5 kg, 7,50 € |
| Simple inversa | Más de una magnitud, menos de la otra | Multiplicar en línea y dividir | 4 grifos, 6 h; 3 grifos, 8 h |
| Compuesta | Tres magnitudes o más | Pasar por la unidad de cada magnitud | 3 impresoras, 2 h, 900 páginas; 5 impresoras, 3 h, 2.250 páginas |
Cómo reconocer la proporcionalidad directa
Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando su cociente es siempre el mismo. El precio por kilo de una fruta no cambia con la cantidad: 1,50 € por kilo para 1, 3 o 5 kilos. Lo mismo pasa con una receta, en la que se duplican todos los ingredientes para el doble de personas, o con una escala, en la que cada centímetro del mapa equivale siempre a la misma distancia.
La comprobación es rápida: si al multiplicar una magnitud por 2, por 3 o por 10, la otra queda multiplicada por el mismo número, hay proporcionalidad directa. Si se divide, también. Esa es la condición que permite la regla de 3; sin ella, el resultado no tiene sentido.
Los porcentajes son un caso particular de proporcionalidad directa: el 15 % de 80 es a 80 lo que 15 es a 100, y la entrada del glosario sobre los porcentajes repasa ese cálculo paso a paso.
Regla de 3 inversa
En la regla de 3 inversa, cuando una magnitud aumenta, la otra disminuye en la misma proporción. Si 4 grifos iguales llenan un depósito en 6 horas, 3 grifos tardarán más: el trabajo total es 4 × 6 = 24 horas de grifo, y 24 ÷ 3 = 8 horas.
La velocidad y el tiempo funcionan igual. Un trayecto de 120 km dura 2 horas a 60 km/h y 1,5 horas a 80 km/h: 60 × 2 = 120 y 120 ÷ 80 = 1,5. En la inversa no se multiplica en cruz, sino en línea, y se divide por el dato nuevo.
El error clásico es aplicar la directa a un caso inverso: con 3 grifos en lugar de 4, la directa daría 4,5 horas, menos tiempo con menos grifos, lo que no tiene sentido. Antes de calcular, pregúntate si más de una magnitud significa más o menos de la otra.
Otro ejemplo clásico es el de los pintores. Si 6 pintores tardan 10 días en pintar una casa, 4 pintores al mismo ritmo tardarán 6 × 10 ÷ 4 = 15 días: el trabajo total, 60 días de pintor, no cambia, solo se reparte entre menos personas.
Regla de 3 compuesta
La regla de 3 compuesta relaciona tres magnitudes o más. Si 3 impresoras imprimen 900 páginas en 2 horas, ¿cuántas páginas imprimen 5 impresoras en 3 horas?
El camino más seguro es pasar por la unidad de cada magnitud. Una impresora, en una hora, imprime 900 ÷ (3 × 2) = 150 páginas. Cinco impresoras durante 3 horas imprimen 150 × 5 × 3 = 2.250 páginas.
Cuando alguna de las magnitudes es inversa, como el número de personas y el tiempo que tardan en terminar un trabajo, se trata por separado: primero se busca el trabajo total, y luego se reparte. Escribir una tabla con una columna por magnitud evita confundir qué se multiplica y qué se divide.
Cuándo no sirve la regla: tres casos sin proporcionalidad
Muchos problemas parecen de regla de 3 sin serlo. El Real Decreto 217/2022 de la ESO pide analizar situaciones de proporcionalidad en contextos como aumentos y disminuciones porcentuales, rebajas, impuestos, escalas, cambio de divisas o velocidad y tiempo, y en Primaria ya se distinguen las situaciones proporcionales de las que no lo son.
| Situación | ¿Proporcional? | Por qué |
|---|---|---|
| Precio por kilo de la fruta | Sí, directa | El precio de un kilo no cambia |
| Ingredientes de una receta | Sí, directa | Todo se multiplica por el mismo número |
| Grifos y tiempo de llenado | Sí, inversa | El trabajo total es constante |
| Taxi con bajada de bandera | No | Hay una parte fija que no depende de la distancia |
| Oferta 3x2 | No | Pagas 2 de cada 3, no el triple de uno |
| Edad y estatura | No | Crecer no es proporcional a cumplir años |
En el taxi, por ejemplo, si 5 km cuestan 10 € con 3 € de bajada de bandera, 10 km no cuestan 20 €, sino 3 € más el doble de 7 €, es decir, 17 €. Antes de aplicar la regla, comprueba que no haya una cantidad fija escondida.
La regla de 3 de cabeza
De cabeza, la regla de 3 se resuelve buscando un número sencillo. Si 4 cuadernos cuestan 6 €, 6 cuadernos cuestan 6 × 1,5 = 9 €, porque 6 es 4 por 1,5. Si 250 g de harina sirven para 4 personas, para 6 personas hacen falta 375 g, la mitad más.
Los porcentajes se resuelven con la misma idea. El 15 % de 80 es la cantidad que es a 80 lo que 15 es a 100: 80 × 15 ÷ 100 = 12. De cabeza, el 10 % de 80 es 8 y el 5 % es 4, así que el 15 % es 12.
Dividir rápido ayuda en cada paso, y los trucos para dividir de cabeza sirven justo para pasar por la unidad. Con los porcentajes ocurre lo mismo: el IVA también es una proporción, como muestra la guía para calcular el IVA sin calculadora.
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Preguntas frecuentes
¿Cómo se hace una regla de 3 simple directa?
Se escriben los datos en dos filas, se multiplica en cruz y se divide por el dato que queda. Si 3 kg cuestan 4,50 €, 5 kg cuestan 5 × 4,50 ÷ 3 = 7,50 €.
¿Cuándo se usa la regla de 3 inversa?
Cuando al aumentar una magnitud la otra disminuye en la misma proporción, como grifos y tiempo de llenado: 4 grifos tardan 6 horas y 3 grifos tardan 4 × 6 ÷ 3 = 8 horas.
¿Qué es la proporcionalidad directa?
Es la relación entre dos magnitudes cuyo cociente es constante: si una se multiplica por un número, la otra se multiplica por el mismo número, como el precio y los kilos de fruta.
¿Cómo se resuelve una regla de 3 compuesta?
Pasando por la unidad de cada magnitud. Si 3 impresoras hacen 900 páginas en 2 horas, una hace 150 páginas por hora, y 5 impresoras en 3 horas hacen 2.250.
¿Cuándo no se puede aplicar la regla de 3?
Cuando las magnitudes no son proporcionales, por ejemplo si hay una parte fija como la bajada de bandera de un taxi, o en ofertas del tipo 3x2.
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